Question

9．如图，四边形APBC是圆内接四边形，∠APB=120°，PC平分∠APB，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2$\sqrt{3}$
①求PD的长．
②图中弧BP和线段DP、BD组成的图形面积为3$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义结合∠APB=120°可得出∠BPC=60°，利用圆周角定理可求出∠BAC=60°，再根据圆内接四边形的性质可得出∠ACB=60°，由此即可证出△ABC是等边三角形；
（2）①通过解含30度角的直角三角形可求出AP、AD的长度，二者做差即可得出PD的长；
②根据圆内接四边形的性质找出∠PBC=90°，取PC的中点O，连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，利用分割图形求面积法即可求出弧BP和线段DP、BD组成的图形面积．

解答 （1）证明：∵∠APB=120°，PC平分∠APB，
∴∠BPC=∠APC=$\frac{1}{2}$∠APB=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°．
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠APB=120°，
∴∠ACB=180°-∠APB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：①在Rt△PAC中，∠APC=60°，∠PAC=90°，AC=AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠PCA=30°，
∴PC=2PA．
∵PC²=PA²+AC²，
∴PA=2，PC=4．
同理，可求出CD=4$\sqrt{3}$，AD=6，
∴PD=AD-PA=4．
②∵∠PAC=90°，四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠PBC=90°．
取PC的中点O，连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，如图所示，
∴PO=$\frac{1}{2}$PC=2，OE=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$PA=1，
∴弧BP和线段DP、BD组成的图形面积=S_△PCD-S_△OBC-S_扇形POB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1-$\frac{60}{360}$π×2²=3$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案为：3$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、三角形的面积以及解含30度角的直角三角形，解题的关键是：（1）找出∠BAC=∠ACB=60°；（2）①通过解含30度角的直角三角形求出AP、AD的长度；②利用分割图形求面积法求出弧BP和线段DP、BD组成的图形面积．