Question

3．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为t s．
（1）求PQ的长；
（2）当直线AB与⊙O相切时，求证：AB⊥PN；
（3）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

分析 （1）连接OQ，在Rt△OPQ中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，过点O作OC⊥AB于C．只要证明△PBA∽△PQO，即可推出∠PBA=∠PQO=90°．
（3）首先证明四边形OCBQ是矩形，分两种情形列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OQ，

∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
∴∠OQP=90°，
∵OQ=6cm，OP=10cm，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．

（2）如图2中，过点O作OC⊥AB于C．

由题意，PA=5t，PB=4t，
∵OP=10，PQ=8，
∴$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PB}{PQ}$，∵∠P=∠P，
∴△PBA∽△PQO，
∴∠PBA=∠PQO=90°，
∴AB⊥PN．

（3）∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ是矩形，
∴BQ=OC=6，
∵OC=6cm，
∴BQ=6cm．
①当AB运动到图2位置时，BQ=PQ-PB=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5s，

②当AB运动到图3位置时，

BQ=AB-PQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5s，
综上所述，t=0.5s或3.5s时，直线AB与⊙O相切．

点评 本题考查圆的综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．