Question

11．利用平面直角坐标系求抛物线y=x²-4x+3与坐标轴的交点围成的△ABC的周长和面积．抛物线上是否存在点D，使△ABD与△ABC面积相等，如果有，请写出D点坐标．

Answer 1

分析 求出A、B、C三点的坐标后，然后即可求出AB、AC、BC的长度；由于△ABD与△ABC面积相等，即它们的高也相等．

解答 解：令y=0代入y=x²-4x+3，
∴0=x²-4x+3，
∴x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，OB=3，OA=1，
令x=0代入y=x²-4x+3，
∴y=3，
∴C（0，3），
∴由勾股定理可求得：AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=2+$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$，
△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
设△ABD的边AB上的高为h，
∴h=3，
∴即D的纵坐标为±3，
设D（x，y），
当y=3时，
此时3=x²-4x+3，
解得x=0（舍去）或x=4，
∴当y=-3时，
∴此时-3=x²-4x+3，
∴△＜0，
∴方程无解，
综上所述，D的坐标为（4，3）

点评 本题考查二次函数综合问题，涉及勾股定理，三角形面积公式，一元二次方程等知识，题型较为综合．