点A在数轴上对应的数为a.点B对应的数为b.且a.b满足:|a+6|+(b-4)2=0(1)求线段AB的长,(2)如图1.点C在数轴上对应的数为x.且是方程x+1=$\frac{1}{4}$x-5的根.在数轴上是否存在点P使PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB?若存在.求出点P对应的数,若不存在.说明理由,(3)如图2.若P点是B点右侧一点.PA的中点为M.N为PB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足：|a+6|+（b-4）²=0
（1）求线段AB的长；
（2）如图1，点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1=$\frac{1}{4}$x-5的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；

（3）如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN的值不变；②PM+$\frac{3}{4}$BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并求出其值．

分析（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB确定出P位置，即可做出判断；
（3）设P点所表示的数为n，就有PA=n+6，PB=n-4，根据条件就可以表示出PM=$\frac{n+6}{2}$，BN=$\frac{2}{3}$×（n-4），再分别代入①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN和②PM+$\frac{3}{4}$BN求出其值即可．

解答解：（1）∵|a+6|+（b-4）²=0，
∴a+6=0，b-4=0，
∴a=-6，b=4，
∴AB=|-6-4|=10．
答：AB的长为10；

（2）不存在，
∵2x+1=$\frac{1}{4}$x-5，
∴x=-8，
∴BC=12．
设点P在数轴上对应的数是m，
∵PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB，
∴|m+6|+|m-4|=$\frac{1}{4}$×12+3，
令m+6=0，m-4=0，
∴m=-6或m=4．
①当m≤-6时，
-m-6+4-m=13，
m=-7.5；
②当-6＜m≤4时，
m+6+4-m=13，（舍去）；
③当m＞4时，
m+6+m-4=13，
m=5.5．
∴当点P表示的数为-7.5或5.5时，PA+PB=$\frac{1}{4}$BC+AB；

（3）设P点所表示的数为n，
∴PA=n+6，PB=n-4．
∵PA的中点为M，
∴PM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{n+6}{2}$．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN=$\frac{2}{3}$PB=$\frac{2}{3}$×（n-4），
∴①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN=$\frac{1}{2}$×$\frac{n+6}{2}$-$\frac{3}{8}$×$\frac{2（n-4）}{3}$=$\frac{5}{2}$（不变），
②PM+$\frac{3}{4}$BN=$\frac{n+6}{2}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{2（n-4）}{3}$=n+1（随点P的变化而变化），
即正确的结论为①$\frac{1}{2}$PM-$\frac{3}{8}$BN的值不变，其值为$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了一元一次方程的运用，分段函数的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．

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