Question

18．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0，②abc＞0，③a-b+c＞0，④2a-3b=0，⑤c-4b＞0．其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：抛物线的开口向上，则a＞0；
对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{3}$，即3b=-2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；
①由以上c＜0，正确；
②由a＞0，b＜0，c＜0，得abc＞0，正确；
③由图知：当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，正确；
④由对称轴知：3b=-2a，即3b+2a=0，错误；
⑤由对称轴知：3b=-2a，即a=-$\frac{3}{2}$b，函数解析式可写作y=-$\frac{3}{2}$bx²+bx+c；
由图知：当x=2时，y＞0，即-$\frac{3}{2}$b×4+2b+c＞0，即c-4b＞0，故⑤正确；
∴正确的结论有四个：①②③⑤．
故选：D．

点评 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．