Question

2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF，在此运动变化过程中，则5个结论：①∠CDF=∠BEF；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CDFE的面积随D，E的运动而变化；④△CDE面积的最大值为4；⑤△DFE面积的最小值为2，其中正确的结论是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ②③④
• C． ①②⑤
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①②正确，只要证明△CDF≌△BEF，即可证明．
③错误．根据四边形CDFE的面积=△CDF的面积+△CEF的面积=△BEF的面积+△CEF的面积=△BCF的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=定值，即可判断．
④错误．设AD=CE=x，则S_△CDE=$\frac{1}{2}$（4-x）x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，利用二次函数的性质即可判断．
⑤正确．因为△DEF是等腰直角三角形，所以DE最小时，△DEF的面积最小，根据DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，利用二次函数的性质，即可判断．

解答 解：连接CF．
∵∠C=90°，AC=BC=4，F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，∠DCF=∠B=45°，CF⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∵AD=CE，
∴CD=BE，
在△CDF和△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BF}\\{∠DCF=∠B}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BEF，
∴∠CDF=∠BEF，DE=EF，∠CFD=∠BFE，
∴∠DFE=∠CFB=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①②正确，
∵S_△CDF=S_△BFE，
∴四边形CDFE的面积=△CDF的面积+△CEF的面积=△BEF的面积+△CEF的面积=△BCF的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=定值，故③错误．
设AD=CE=x，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$（4-x）x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴△CDE的面积的最大值为2，故④错误．
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DE最小时，△DEF的面积最小，
∵DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，
∴DE的最小值为2$\sqrt{2}$，此时DF=EF=2，
∴△DEF的面积的最小值=$\frac{1}{2}$×2×2=2，故⑤正确．
故选C．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．