Question

19．如图，∠AOB=60°，其内部的点M到OA的距离MF=1，到OB的距离ME=2，求线段OM的长．

Answer 1

分析 延长EM交OA于H，应用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出MH，再根据特殊角的三角函数值求出OE，最后根据勾股定理可以求出OM的长．

解答 解：延长EM交OA于H，
∵∠AOB=60°，
∴∠OHE=30°，
在Rt△HMF中，
∵∠OHE=30°，
∴MH=2MF=2，
∴EH=EM+MH=2+2=4，
∴tan∠OHE=tan30°=$\frac{OE}{HE}$=$\frac{OE}{4}$，
∴OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△OEM中，OM=$\sqrt{O{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 此题考查了勾股定理、特殊角的三角函数值和在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．