Question

2．如图，四边形ABCD是菱形，E在AD上，F在AB延长线上，CE和DF相交于点G，若CE=DF，∠CGF=30°，AB的长为6，则菱形ABCD的面积为18．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，根据中位线定理得OM=$\frac{1}{2}$CE，ON=$\frac{1}{2}$DF，则OM=ON，证明△AMO≌△AHO，得OM=OH=ON，根据等边对等角和平角的定义得：∠AMO+∠ONH=180，再由平行线的同位角相等得：∠DAB+∠EGF=180°，所以得∠DAB=30°，根据30°角的性质求出菱形的高PC的长，代入面积公式求出菱形ABCD的面积．

解答 解：连接AC、BD，交于点O，分别取AE、BF的中点M、N，连接OM、ON，在AB上截取AH=AM，连接OH，过C作CP⊥AF于P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴O是BD的中点，也是AC的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$CE，ON=$\frac{1}{2}$DF，
∵CE=DF，
∴OM=ON，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵AO=AO，
∴△AMO≌△AHO，
∴OM=OH，∠AMO=∠AHO，
∴OM=OH=ON，
∴∠OHN=∠ONH，
∵∠AHO+∠OHN=180°，
∴∠AMO+∠ONH=180，
∵OM∥EC，ON∥DF，
∴∠AMO=∠AEC，∠ONH=∠GFA，
∴∠AEC+∠GFA=180°，
∴∠DAB+∠EGF=180°，
∵∠CGF=30°，
∴∠EGF=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠DAB=30°，
∵AB=BC=6，
∴CP=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴菱形ABCD的面积=AB•CP=6×3=18，
故答案为18．

点评 本题考查了菱形的性质，还考查了全等三角形、中位线、等腰三角形的性质和判定，取中点连线段，构建中位线定理与已知线段相结合，再利用三角形全等，求出∠DAB=30°，从而使问题得以解决．