题目内容

17．如图①，将一个直角三角形的直角顶一点P放在正方形ABCD的边AB上滑动，并且其一中一条直角边始终过点D，另一条直角边与∠ABC的外角平分线交于点E．
（1）猜想DP与EP的数量关系（不必证明）；
（2）如图②，当直角顶点P运动到AB的延长线上时，（1）中猜想的结论还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由；
（3）如图③，当直角顶点P运动到BA的延长线上时，猜想DP与EP的数量关系的结论还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．

分析 （1）先利用正方形外角平分线得出∠EBF=45°，作出辅助线，判断出∠AGP=45°，即可得到∠DGP=∠PBE，再用同角的余角相等得出∠EPB=∠ADP，即可用ASA判断出
△DPG≌△PEB，得出结论；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法即可得证；

解答 解：（1）DP=EP，
理由：如图①，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBF=90°，
∵BE是∠CBF的角平分线，
∴∠EBF=$\frac{1}{2}$∠CBF=45°，
在AD上取一点G使AG=AP，
∴DG=PB，
∵∠DAB=90°，
∴∠AGP=∠APG=45°，
∴∠EBF=∠AGP，
∴∠DGP=∠PBE，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠EPB=∠ADP，
在△DPG和△PEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EPB}\\{DG=PB}\\{∠DGP=∠PBE}\end{array}\right.$，
∴△DPG≌△PEB，
∴DP=EP；
（2）成立，DP=EP
理由：如图②，

延长AD，使AG=AP，
同（1）的方法证明，（注：只是把（1）中的辅助线的换一下，其它全部不变）
（3）成立，DP=EP
理由：如图③，

延长DA，使AG=AP；
同（1）的方法证明，（注：只是把（1）中作辅助线的说法换一下，其它全部不变）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形判定，同角的余角相等，解本题的关键是作出辅助线．是一道中等难度的中考常考题，用类比的思想解决问题．

练习册系列答案
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