Question

19．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图甲，AB=OB=|b|=|a-b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图乙，点A、B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是3，
②数轴上表示x和-1的两点分别是点A和B，如果AB=2，那么x=1或-3；
③当代数式|x+2|+|x-5|取最小值时，相应的x的取值范围是-2≤x≤5．
④当代数式|x-5|-|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是x≤-2或x≥5．

Answer 1

分析 ①根据（1）中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；
②根据（1），即可直接写出结果；
③|x+2|+|x-5|表示数轴上一点到-2与5两点的距离的和，当这点是-2或5，以及它们之间时和最小，最小距离是-2与5之间的距离；
④代数式|x-5|-|x+2|表示数轴上一点到5与-2两点的距离的差，当点不在-2与5之间时差最大，最大值是5与-2之间的距离．

解答 解：①-2-（-5）=3；   
②|x+1|=2则x=1或-3；     
③|x+2|+|x-5|表示数轴上一点到-2与5两点的距离的和，当这点在-2和5之间时和最小，最小距离是：5-（-2）=7；
④代数式|x-5|-|x+2|表示数轴上一点到5与-2两点的距离的差，当点不在-2与5之间时差最大，最大值是5与-2之间的距离，是7．
故答案是：①3；
②1或3；
③-2≤x≤5；
④x≤-2或x≥5．

点评 本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．