题目内容
6．如图1，直线l：y=x+$\sqrt{3}$与x轴负半轴、y轴正半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+bx+c经过点B（1，0）和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点Q是抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+bx+c在第二象限内的一个动点．
①如图1，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时点Q的坐标．
分析 （1）根据直线的解析式得到点C（0，$\sqrt{3}$），把点B（1，0）与点C（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①连接OQ，在直线y=x+$\sqrt{3}$中，令y=0，则x=-$\sqrt{3}$，得到点A（-$\sqrt{3}$，0），根据三角形的面积公式即可得到结论；
②解直角三角形得到∠CBO=60°，作直径ET交⊙I于点T，连接FT，则∠EFT=90°，得到EF=ET•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET，当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小，推出∠CAO=45°，在Rt△ADB中，根据三角函数的定义即可得到结论．
解答 
解：（1）在直线y=x+$\sqrt{3}$中，令x=0，则y=$\sqrt{3}$，
∴点C（0，$\sqrt{3}$），
把点B（1，0）与点C（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+bx+c，得：$\left\{\begin{array}{l}c=\sqrt{3}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}+b+c=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）①连接OQ，在直线y=x+$\sqrt{3}$中，令y=0，则x=-$\sqrt{3}$，
∴点A（-$\sqrt{3}$，0），
∵S△AQC=S△AOQ+S△OCQ-S△AOC，
∴S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•（-t）-$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴S=-$\frac{1}{2}$t2-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$t，即S=0$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$）2+$\frac{7+4\sqrt{3}}{8}$，（-3＜t＜0）．
∴当t=-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$时，${S_{最大值}}=\frac{{7+4\sqrt{3}}}{8}$；
②∵点B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），∴OB=1，OC=$\sqrt{3}$，．
在Rt△BOC中，tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=60°，
作直径ET交⊙I于点T，连接FT，则∠EFT=90°，
又∠FTE=∠CBO=60°，sin∠FTE=$\frac{EF}{ET}$，EF=ET•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET，
当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小，
在Rt△AOC中，OA=OC=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=45°，
在Rt△ADB中，BD=AB•sin∠CAO=ABsin45°=|1-（-$\sqrt{3}$）|sin45°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$，
此时点Q的坐标为（$\sqrt{3}$-3，4-$\sqrt{3}$）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和最大值，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．
实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
如图，抛物线y=ax2+bx+c，与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），有下列结论：①abc＞0；②4ac-b2＞0；③当x=3时，y=0；④3a+b＞0；⑤-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，；⑥$\frac{8}{3}$≤n≤4，其中正确的有（ ）
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，则∠EDC等于（ ）| A． | 40° | B． | 50° | C． | 60° | D． | 65° |
如图，点C是半径长为3的⊙O上任意一点，AB为直径，AC=3，过点C作⊙O的切线DC，点P为⊙O优弧AC上不与A、C重合的一个动点，点P从点C出发以每秒π个单位的速度顺时针匀速运动，到达点A停止运动．
在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）| A． | |a|＜1 | B． | |a|＞1 | C． | |b|＜1 | D． | ab＞0 |