Question

18．如图，点C是半径长为3的⊙O上任意一点，AB为直径，AC=3，过点C作⊙O的切线DC，点P为⊙O优弧AC上不与A、C重合的一个动点，点P从点C出发以每秒π个单位的速度顺时针匀速运动，到达点A停止运动．
（1）求∠DCA的度数；
（2）填空；
①当t=1s时，四边形OBPC是菱形；
②当t=3s时，由点A、P、C三点构成的三角形与△ABC全等．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到∠OCD=90°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）①当t=1s时，四边形OBPC是菱形；连接OP，根据弧长公式得到∠COP=60°，得到∠BOP=60°，推出△COP与△BOP是等边三角形，得到PC=PB=OB=OC，于是得到结论；
②当t=3s时，由点A、P、C三点构成的三角形与△ABC全等，根据弧长公式得到∠COP=180°，推出C，O，P三点共线，得到CP=AB，∠P′=∠B，根据全等三角形的判定即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵AC=OA=OC=3，
∴∠ACO=60°，
∴∠DCA=30°；

（2）①当t=1s时，四边形OBPC是菱形；
如图，1，连接OP，
∵t=1s，
∴$\widehat{PC}$的长度=π，
设∠POC=α，
∴$\frac{α•π×3}{180}$=π，
∴α=60°，
∴∠COP=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△COP与△BOP是等边三角形，
∴PC=OC=OP=PB，
∴PC=PB=OB=OC，
∴四边形OBPC是菱形；
②当t=3s时，由点A、P、C三点构成的三角形与△ABC全等，
∵t=3s，
设∠COP=α，
∴$\widehat{CP}$的长=$\frac{α•π×3}{180}$=3π，
∴α=180°，
∴C，O，P三点共线，如图2，
∴CP=AB，∠P′=∠B，
在△ABC与△CP′A中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠CAP′}\\{∠B=∠P′}\\{AB=CP′}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CP′A．
故答案为：1，3．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，切线的性质，正确理解题意是解题的关键．