题目内容
17．
实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分线，交BC于点O；
②以点O为圆心，OC为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，
（1）直线AB与⊙O的位置关系是相切；
（2）证明：BA•BD=BC•BO；
（3）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．
分析 实践操作：根据要求画出⊙O即可；
（1）相切．作OD⊥AB于D．只要证明OD=OC=r即可；
（2）欲证明BA•BD=BC•BO，只要证明△ABC∽△OBD即可；
（3）在Rt△BOD中，设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x），在Rt△BOD中，则有：x2+82=（12-x）2，解方程即可解决问题；
解答 解：实践操作，⊙O如图所示：
综合运用：
（1）结论：相切．
理由：作OD⊥AB于D．
∵OA平分∠CAB，OD⊥AB，OC⊥CA，
∴OD=OC=r，
∴AB是⊙O的切线．
故答案为相切．
（2）证明：∵∠BCA=90°，∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△OBD，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{BA}$，
∴BA•BD=BC•BO．
（3）∵AC=5，BC=12，AC=AD，
∴AD=5，AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴DB=13-5=7，
设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x），
则有：x2+82=（12-x）2，
解得：x=$\frac{10}{3}$．
答：⊙O的半径为$\frac{10}{3}$．
点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
练习册系列答案
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8．
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