Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c，与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），有下列结论：①abc＞0；②4ac-b²＞0；③当x=3时，y=0；④3a+b＞0；⑤-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，；⑥$\frac{8}{3}$≤n≤4，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由函数图象可判断a，b，c的符号，则①是否正确即可判断；由函数图象和x轴交点的个数可判断②是否正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项③作出判断；根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；
根据两根之积$\frac{a}{c}$=-3，得到a=-$\frac{c}{3}$，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．

解答 解：
由函数图象可a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵函数图象和x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
即4ac-b²＜0，故②错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴当x=3时，y=0，故③正确；
根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．故④错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
$\frac{c}{a}$=-3，则a=-$\frac{c}{3}$．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-$\frac{c}{3}$≤-$\frac{2}{3}$，即-1≤a≤$\frac{2}{3}$．故⑤正确；
根据题意知，a=-$\frac{c}{3}$，
-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a=$\frac{2}{3}$，
∴n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c．
∵2≤c≤3，$\frac{8}{3}$≤$\frac{4}{3}$c≤4，$\frac{8}{3}$≤n≤4．故⑥正确；
综上所述，正确的说法有③⑤⑥．
故选D．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象以及给定条件逐个分析4条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．