Question

16．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD为边上的高，将△ADC沿直线AC翻折得到△AEC，延长EA交⊙O于点P，连接FC，交AB于N．
（1）求证：∠BAC=∠ABC+∠ACF；
（2）求证：EF=DB；
（3）若AD=5，CD=10，CB∥AF，求点F到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）由△ADC沿直线AC翻折得到△AEC，可得∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，又∠F=∠ABC，即可推出∠BAC=∠ABC+∠ACF；
（2）只要证明△CEF≌△CDB，即可推出EF=BD；
（3）首先证明tan∠EGA=tanB=tan∠BAF=$\frac{4}{3}$，设AF=a，BD=EF=5+a，构建tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{10}{5+a}$=$\frac{4}{3}$，推出a=$\frac{5}{2}$，在Rt△AMF中，构建tan∠FAM=$\frac{FM}{AM}$=$\frac{4}{3}$，即可推出AF=$\frac{5}{2}$，即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，∵△ADC沿直线AC翻折得到△AEC，
∴∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，
∵∠F=∠ABC，
∴∠BAC=∠ABC+∠ACF．

（2）在△CEF和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠B}\\{∠E=∠CDB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△CDB，
∴EF=BD．

（3）由四边形AECD，可证得∠BAF=∠ECD=2∠ACD，
取AC中点H作HG⊥AC，交CE于点G，则GC=GA，
∴∠EGA=2∠GCA=∠ECD，
设GC=GA=x，则EG=10-x，
在Rt△AEG中，5²+（10-x）²=x²，
∴x=$\frac{25}{4}$，
∴tan∠EGA=$\frac{4}{3}$，
∵BC∥AF，
tanB=tan∠BAF=$\frac{4}{3}$，
设AF=a，BD=EF=5+a
tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{10}{5+a}$=$\frac{4}{3}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，
在Rt△AMF中，∵tan∠FAM=$\frac{FM}{AM}$=$\frac{4}{3}$，AF=$\frac{5}{2}$，
∴FM=2．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用三角函数解决问题，属于中考压轴题．