Question

15．如图，将边长为2cm的正方形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，∠B′AD=120°，则C点运动到C′点的路径长为$\frac{\sqrt{2}}{3}$πcm．

Answer 1

分析 连结AC、AC′，如图，先根据正方形的性质得∠BAD=90°，AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，则∠B′AB=30°，再利用旋转的性质得∠C′AC=∠B′AB=30°，然后根据弧长公式计算C点运动到C′点的路径长．

解答 解：连结AC、AC′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵∠B′AD=120°，
∴∠B′AB=30°，
∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，
∴∠C′AC=∠B′AB=30°，
∴C点运动到C′点的路径长=$\frac{30•π•2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$π（cm）．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{3}$π．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．