Question

4．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S=3，N=1，L=6．
（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，
①求a，b的值；
②若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．

Answer 1

分析 （1）直接观察图形即可得出结论；
（2）①先根据图形得出图中格点三角形ABC的面积为1，格点四边形DEFG的面积为3，进而代入格点多边形的面积公式即可求出a，b；
②代入①中得出的格点多边形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；
故答案为：3，1，6；
（2）由图知，图中格点三角形ABC的面积为1，格点四边形DEFG的面积为3，
∵格点多边形的面积S=N+aL+b，
∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得，$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=1}\\{1+6a+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
（3）由（2）知，a=$\frac{1}{2}$，b=-1，∴S=N+$\frac{1}{2}$L-1，
将N=82，L=38代入S=N+$\frac{1}{2}$L-1，得S=82+$\frac{1}{2}$×38-1=100．
故答案为：3，1，6；

点评 本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．