Question

15．如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为$\widehat{AB}$的中点，点D在$\widehat{BC}$上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．
（1）求证：∠C+∠CBD=∠CBA；
（2）如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF=BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若BF=BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC．由$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，推出∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，由$\widehat{CD}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{BD}$，推出∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，推出∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA．
（2）只要证明△ACF△BCD，即可推出AF=BD．
（3）由△ACK≌△CNM，推出AK=CM，由△ACF≌△BCD，推出CF=CD，△AFK是等腰直角三角形，推出AK=FK=FM=CM，在Rt△AKC中，tan∠CAK=$\frac{CK}{AK}$=3，作EN⊥CH于N，在Rt△NCE中，由∠HCB=∠CAK，推出tan∠NCE=$\frac{EN}{CN}$=3，设CN=m，EN=3m=NF，由S_△CEF=$\frac{1}{2}$•CF•EN=$\frac{1}{2}$×（m+3m）×3m，推出m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出CF=4m=2$\sqrt{2}$，推出CM=FM=FK=AK=$\sqrt{2}$，AF=2，由$\widehat{DB}$=$\widehat{DB}$，推出∠DCB=∠DAB=∠ACK，过G作GQ⊥AF于Q，在Rt△AQG中，tan∠FAB=$\frac{QG}{AQ}$=$\frac{1}{3}$，设QG=x，AQ=3x，FQ=x，可得4x=2，得x=$\frac{1}{2}$，再根据FG=$\sqrt{2}$QG即可解决问题．

解答 （1）证明：连接AC，

在⊙O中，∵C为$\widehat{AB}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，
∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA．

（2）证明：连接AC．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ACF+∠FCB，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=90°=∠FCB+∠DCB，
∴∠ACF=∠DCB，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
在△ACF和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠DCB}\\{AC=BC}\\{∠CAF=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD，
∴AF=BD．

（3）解：作BM⊥CH于M，AK⊥CH于K．

∴∠ACK+∠CAK=90°，∠AKC=∠BMC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACK+∠KCB=90°，
∴∠CAK=∠KCB，∵AC=BC，
∴△ACK≌△CNM，
∴AK=CM，
∵CB=BF，BM⊥CF，
∴CM=FM=AK，
∵△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵∠FCD=90°，
∴∠CFD=∠CDF=45°=∠AFK，
∴△AFK是等腰直角三角形，
∴AK=FK=FM=CM，
在Rt△AKC中，tan∠CAK=$\frac{CK}{AK}$=3，作EN⊥CH于N，
在Rt△NCE中，∵∠HCB=∠CAK，
∴tan∠NCE=$\frac{EN}{CN}$=3，设CN=m，EN=3m=NF，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$•CF•EN=$\frac{1}{2}$×（m+3m）×3m=3，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CF=4m=2$\sqrt{2}$，
∴CM=FM=FK=AK=$\sqrt{2}$，
∴AF=2，
∵$\widehat{DB}$=$\widehat{DB}$，
∴∠DCB=∠DAB=∠ACK，
过G作GQ⊥AF于Q，
在Rt△AQG中，tan∠FAB=$\frac{QG}{AQ}$=$\frac{1}{3}$，设QG=x，AQ=3x，FQ=x，
∴4x=2，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴FG=$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．