Question

如图，A、B两个小集镇在河流l的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水．
（1）请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省？
（2）若铺设水管的费用为每千米3万元，请你求出（1）中铺设水管的费用是多少？

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点，过点A′作AA′的垂线，延长BD交AA′于点K，根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．

解答：解：（1）作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点M，点M即为所求．
如图所示：

（2）过点A′作A′K⊥BD，交BD的延长线于点K．
∵AC∥BD，CD∥A′K，
∴A′K=CD=60千米，BK=BD+DK=60+20=80千米，
在Rt△A′BK中，
A′B=

A′K2+BK2

=

302+402

=50（千米）．
∴AM+MB=50．
即铺设水管的最短长度为50千米，
∵铺设水管的费用为每千米3万元，
∴所需费用=50×3=150（万元）．
答：铺设水管的费用是150万元．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．