Question

20．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点D，OD的延长线交⊙O 于点E，与过点C的⊙O的切线交于点F，已知OD=3，DE=2．
（1）求线段CF的长；
（2）求tan∠ABD．

Answer 1

分析 （1）由题意推出△ODC∽△OCF，然后对应边成比例，即可推出CF的长度；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，△ODH∽△OAD，结合三角形相似的性质，即可推出DH、OH的长度，便可得tan∠ABD的值．

解答 解：（1）∵FC为⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴△ODC∽△OCF，
∴$\frac{OD}{DC}=\frac{OC}{CF}$，
∴CF=$\frac{20}{3}$；

（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∴△ODH∽△OAD，
∴DH=$\frac{12}{5}$，OH=$\frac{9}{5}$，
∴tan∠ABD=$\frac{DH}{BH}=\frac{6}{17}$．

点评 本题主要考查切线的性质、解直角三角函数、相似三角形的判定和性质，关键在于求证相关的三角形相似．