Question

2．如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；
（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=6.5，AE=3，sinA=$\frac{5}{13}$，求⊙O半径OA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由OA⊥OB得出∠A+∠AEO=90°，由切线的性质得出∠CDE+∠ODE=90°，由∠A=∠ODE，证出∠AEO=∠CDE，由对顶角相等得出∠CDE=∠CED，即可得出CD=CE；
（2）同（1）可证：CD=CE，作CM⊥AD于M，由等腰三角形的三线合一性质得出∠ECM=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCE，∠CME=90°，由角的互余关系和对顶角相等得出∠A=∠ECM，即可得出∠DCE=2∠A；
（3）连接OD，作ON⊥AD于N，则AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，CD=CE，∠DCE=2∠A，由三角函数求出DM，得出DE、AD、AN，设OA=x，由三角函数和勾股定理得出方程，解方程即可求解．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA⊥OB，
∴∠AOE=90°，
∴∠A+∠AEO=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，即∠CDE+∠ODE=90°，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ODE，
∴∠AEO=∠CDE，
∵∠CED=∠AEO，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE；
（2）证明：连接OD，作CM⊥AD于M，如图2所示：
同（1）可证：CD=CE，
则∠ECM=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCE，DE=2DM，∠CME=90°，
∴∠ECM+∠CEM=90°，
∵∠A+∠AEF=90°，∠AEF=∠CEM，
∴∠A=∠ECM，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠DCE，即∠DCE=2∠A；
（3）解：连接OD，作CM⊥AD于M，作ON⊥AD于N，如图3所示：
则AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，
由（1）（2）可知：CD=CE，∠DCE=2∠A，
∴DM=CD•sinA=6.5×$\frac{5}{13}$=2.5，
∴DE=2DM=5，
∴AD=8，
∴AN=4，
∵ON=OA•sinA，OA²=ON²+AN²，
设OA=x，根据题意得：
x²=（$\frac{5}{13}$x）²+4²，
解得：x=$\frac{13}{3}$．
∴⊙O半径OA的长为$\frac{13}{3}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、互余两角的关系、三角函数、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线运用三角函数和勾股定理列出方程才能得出结果．