Question

9．阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．
数学老师给小明同学出了一道题目：在图1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{2}$；
小明同学的做法是：由勾股定理，得AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．
（1）请你参考小明同学的做法，在图2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A′B′C′（A′点位置如图所示），使AB′=A′C′=5，B′C′=$\sqrt{10}$．（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，作B'C'=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，A'B'=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，画出图形即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，得出△ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（2）猜想：∠BAC=∠B′A′C′．
证明：∵$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′．

点评 本题考查的是勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，这是解答此题的关键．