Question

19．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．
（1）求证：$\frac{AF}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）求证：AF⊥FM；
（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．
（2）由（1）的结论即可证明．
（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CN}{CD}$，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAF=∠MBE，
∴A、B、M、F四点共圆，
∴∠ABM+∠AFM=180°，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM=∠FMA=45°，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，
∴$\frac{AF}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
补充不用四点共圆的方法：由△EAF∽△EBM，推出$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EF}{EM}$，即$\frac{AE}{EF}$=$\frac{BE}{EM}$，即可推出△AEB∽△FEM，推出∠EMF=∠ABE=45°，由此即可解决问题．
（2）由（1）可知∠AFM=90°，
∴AF⊥FM．
（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM
理由：∵△AEB∽△FEM
∴∠BAE=∠EFM，
∵∠BAM=∠FMN，
∴∠EFM=∠FMN，
∴MN∥BD，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CN}{CD}$，∵CB=DC，
∴CM=CN，
∴MB=DN，
在△ABM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠ADN=90°}\\{BM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠BAM=22.5°．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．