Question

11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知EO=$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得AC的长，再证得EO是△AFC的中位线，从而得EO、AC的长，知道AC的长后可求BC；
（2）连接FN，根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出BF=BN，进而证得△CFN∽△EOM，根据相似三角形的性质，可得EM与CN的数量关系．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CA=$\sqrt{2B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$BC．
∵CF=CA，CE是∠ACF的角平分线，
∴E是AF的中点．
∵E、O分别是AF、AC的中点，
∴EO∥BC，且EO=$\frac{1}{2}$CF，
∵EO=$\sqrt{2}$，
∴CA=CF=2$\sqrt{2}$，
∴BC=2．
∴正方形ABCD的边长为2；

（2）EM=$\frac{1}{2}$CN．
证明：连接FN，
∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCN}\\{∠ABF=∠CBN=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴BF=BN，
∴∠CFN=∠FNB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∵EO∥BC，
∴∠EOM=∠DBC=45°，∠OEM=∠FCN，
∴∠CFN=∠EOM，
∴△CFN∽△EOM，
∴$\frac{EM}{CN}=\frac{EO}{CF}$，
即$\frac{EM}{CN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$．
∴EM=$\frac{1}{2}$CN．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．