Question

10．在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（3，4）．

Answer 1

分析 过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，因为QN取得最大值是QN=OB时，△MON的面积最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时△OMN面积最大，周长最小．

解答 解：如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，
则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，
设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，
此时△MON的面积最大，周长最短，
∵AM∥BO
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AM}{OB}$，即$\frac{4}{8}$=$\frac{AM}{6}$
∴AM=3，
∴M（3，4）．

点评 本题考查了直角梯形的性质，坐标和图形的性质，轴对称的性质等，作出辅助线是本题的关键．