如图.边长为15cm的等边△ABC的顶点B.C都在直线l上.现将一块直角三角尺DEF按如图位置摆放.其中DE=EF=12cm.∠DEF=90°.E.F在直线l上.且F与B重合．若将三角尺DEF沿直线l以3cm/s的速度向右移动.设运动时间为t(s)．(1)请直接写出三角尺DEF的顶点D落在△ABC内部时.时间t的取值范围:4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，边长为15cm的等边△ABC的顶点B、C都在直线l上，现将一块直角三角尺DEF按如图位置摆放，其中DE=EF=12cm，∠DEF=90°，E、F在直线l上，且F与B重合．若将三角尺DEF沿直线l以3cm/s的速度向右移动，设运动时间为t（s）．
（1）请直接写出三角尺DEF的顶点D落在△ABC内部（不含边上）时，时间t的取值范围：4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t＜9-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）在运动过程中，设△DEF与△ABC的重叠部分面积为S（cm²），试求在点F到达点C之前，S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

分析（1）利用等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可解出结果；
（2）设DF与AB相交于G，过G作GH⊥BC于H，由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到BF，GH的长度，利用三角形的面积公式列方程空间求得结论．

解答解：（1）当点D运动到AB上时，如图1，
则四边形DEE′D′是矩形，
∴DD′=EE′，D′E′=DE=12，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴BE′=4$\sqrt{3}$，
∴EE′=12+4$\sqrt{3}$，
∴t=4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当点D运动到AB上时，同理可得t=9-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴当4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t＜9-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，三角尺DEF的顶点D落在△ABC内部；
故答案为：4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t＜9-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）①0≤t＜4，
如图2，设DF与AB相交于G，过G作GH⊥BC于H，
∵∠ABC=60°，∠DFE=45°，
设BH=a，则GH=HF=$\sqrt{3}$a，（$\sqrt{3}+1$）a=3t，
∴GH=$\sqrt{3}$a=$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$BF•GH=$\frac{27-9\sqrt{3}}{4}$t²，
②4≤t＜5，
由①得S_△BGF=$\frac{27-9\sqrt{3}}{2}$t²，
∵BE=3t-12，EH=$\sqrt{3}$（3t-12），
∴S=$\frac{27-9\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3t-12）²=$\frac{27-27\sqrt{3}}{4}$t²+36$\sqrt{3}t$-72$\sqrt{3}$．