Question

18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D．
（1）求证：∠ADE=∠BDE．
（2）过点C作CG⊥AD于点G，交AB于点F，求证：DE=$\frac{1}{2}BF$．

Answer 1

分析 （1）由AD平分∠BAC可以得出∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，由BD⊥AD可以得出∠ADB=90°，就有∠DBA=∠DAB=45°，得出AD=BD，再通过证明△AED≌△BED就可以得出结论；
（2）作EH∥CF交AB于H，由CE=BE，得出FH=BH=$\frac{1}{2}$BF，根据EH∥BD，∠BDE=∠ABD=45°，证得四边形BDEH是等腰梯形，得出DE=BH，从而证得结论．

解答 （1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，
∴AE=BE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=45°，
∵BD⊥AD，
∴∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DE=DE}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDE（SSS），
∴∠ADE=∠BDE；
（2）解：如图，作EH∥CF交AB于H，
∵CE=BE，
∴FH=BH=$\frac{1}{2}$BF，
∵AG⊥AD，BD⊥AD，
∴CF∥BD，
∴EH∥BD，
∵∠BDE=∠ABD=45°，
∴四边形BDEH是等腰梯形，
∴DE=BH，
∴DE=$\frac{1}{2}$BF．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．