Question

15．如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ．当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．如图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16时，函数的解析式不同）．
（1）填空：m的值为8$\sqrt{3}$；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出BC的长即可．
（2）分三种情形①0≤m≤8，②8＜x≤8$\sqrt{3}$，③8$\sqrt{3}$＜x≤16，分别求出△APQ面积即可．
（3）分三种情形讨论①当点P在AB上，点Q在BC上，△PQC不可能为等腰三角形．②当点P在AC上，点Q在BC上，根据PQ=QC列出方程即可③当点P在AC上，点Q在BC的延长线，根据CP=CQ列出方程即可．

解答 解：（1）如图1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
由题意AB=AC=8，∠A=120°，
∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=4，BM=CM=4$\sqrt{3}$，
∴BC=8$\sqrt{3}$，
∴m=BC=8$\sqrt{3}$，
故答案为8$\sqrt{3}$．
（2）①当0≤m≤8时，如图1中，
在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，
∴PN=$\frac{1}{2}$x．
s=$\frac{1}{2}$•BQ•PN=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{1}{2}$•x=$\frac{1}{4}$x²．
②当8＜x≤8$\sqrt{3}$，如图2中，
在RT△PBN中，∵PC=16-x，∠PNC=90°，∠C=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$PC=8-$\frac{1}{2}$x，
∴s=$\frac{1}{2}$•BQ•PN=$\frac{1}{2}$•x•（8-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{1}{4}$x²+4x．
③当8$\sqrt{3}$＜x≤16时，
s=$\frac{1}{2}$•8$\sqrt{3}$•（8-$\frac{1}{2}$•x）=-2$\sqrt{3}$x+32$\sqrt{3}$．
（3）①当点P在AB上，点Q在BC上时，△PQC不可能是等腰三角形．
②当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，
∵PC=$\sqrt{3}$QC，
∴16-x=$\sqrt{3}$（8$\sqrt{3}$-x），
∴x=4$\sqrt{3}$+4．
③当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，
即16-x=x-8$\sqrt{3}$，
∴x=8+4$\sqrt{3}$．
∴△PCQ为等腰三角形时x的值为4$\sqrt{3}$+4或8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查动点问题、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．