Question

如图，AB垂直平分CD，AB与CD相交于点O，CD=2cm，∠CAD=90°，∠CBD=60°，点P、Q、M、N分别沿图示方向在线段上运动，同时开始以1cm/s的速度运动．
（1）设出发时间为t（s）是否存在某一时刻，四边形PQMN为长方形？若存在，请证明时间；若不存在，请说明理由；
（2）点P、Q、M、N分别与点O连结，图中阴影部分图形称为蝶形，求蝶形面积S关于t的函数关系式（0＜t＜

2

）；
（3）当t=

2

时，在AB上找一点G，使GQ+GM最小，画出图形并求此时OG的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得CO=DO，AC=AD，再由∠CAD=90°，∠CBD=60°，CD=2，AP=AQ=BM=BN=t，易判断△APG和△ACD为等腰直角三角形，△BMN和△BCD为等边三角形，所以AO=CO=DO=1，BO=

3

，CB=DB=2，PQ=

2

t，MN=t，然后利用PQ∥MN，PM=QN来得到四边形PQMN为矩形，当PQ=MN时，四边形PQMN为长方形，则

2

t=t，解得t=0，于是得到不存在某一时刻，四边形PQMN为长方形，
（2）如图（2），AB与PQ、MN交于点E、F，根据等腰直角三角形和等边三角形的性质由PQ=

2

t，MN=t得到AE=

1

2

PQ=

2

2

t，BF=

3

2

MN=

3

2

t，则OE=OA-AE=1-

2

2

t，OF=OB-BF=

3

-

3

2

t，然后根据三角形面积公式和S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON进行计算，得到S=-

6 + 2

4

t²+

6 +1

2

t（0＜t＜

2

）；
（3）当t=

2

时，PQ=2，MN=

2

，即点Q与D重合，如图（3），连接NQ交AB于G点，由于M关于AB的对称点为N，则GN=GM，所以GQ+GM=GN+GQ=NQ，根据两点之间线段最短得到此时G点使GQ+GM最小，建立如图（3）的直角坐标系，则D（1，0），再确定N点坐标，然后利用待定系数法求出直线NQ的解析式，接着确定G点坐标，于是可得到OG的长．

解答：解：（1）∵AB垂直平分CD，
∴CO=DO，AC=AD，
∵∠CAD=90°，∠CBD=60°，CD=2，AP=AQ=BM=BN=t
∴△APG和△ACD为等腰直角三角形，△BMN和△BCD为等边三角形，
∴AO=CO=DO=1，BO=

3

，CB=DB=2，PQ=

2

t，MN=t，
∵PQ∥CD，MN∥CD，
∴PQ∥MN，且PM=NQ，
∴当PQ=MN时，四边形PQMN为长方形，则

2

t=t，解得t=0，
∴不存在某一时刻，四边形PQMN为长方形，
（2）如图（2），AB与PQ、MN交于点E、F，
∵PQ=

2

t，MN=t，
∴AE=

1

2

PQ=

2

2

t，BF=

3

2

MN=

3

2

t，
∴OE=OA-AE=1-

2

2

t，OF=OB-BF=

3

-

3

2

t，
∴S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON=

1

2

•（t+

2

t）•（1-

2

2

t+

3

-

3

2

t）-

1

2

•

2

t•（1-

2

2

t）-

1

2

•t•（

3

-

3

2

t）=-

6 + 2

4

t²+

6 +1

2

t（0＜t＜

2

）；
（3）当t=

2

时，PQ=2，MN=

2

，即点Q与D重合，
如图（3），连接NQ交AB于G点，
∵M关于AB的对称点为N，
∴GN=GM，
∴GQ+GM=GN+GQ=NQ，
∴此时G点使GQ+GM最小，
建立如图（3）的直角坐标系，则D（1，0），
∵OF=

3

-

3

2

t=

3

-

6

2

，NF=

1

2

MN=

2

2

，
∴N点坐标为（-

2

2

，-

3

+

6

2

），
设直线NQ的解析式为y=kx+b，
把D（1，0），N（-

2

2

，-

3

+

6

2

）代入得

k+b=0 - 2 2 k+b=- 3 + 6 2

，解得

k=3 3 -2 6 b=-3 3 +2 6

∴直线NQ的解析式为y=（3

3

-2

6

）x-3

3

+2

6

，
把x=0代入y=（3

3

-2

6

）x-3

3

+2

6

得y=-3

3

+2

6

，
∴G点坐标为（0，-3

3

+2

6

），
∴OG=3

3

-2

6

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握线段的垂直平分线的性质、矩形的判定方法、等腰直角三角形和等边三角形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积；能利用两点之间线段最短解决两线段和的最小值问题；学会运用函数思想解决数学问题．