Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（0，d），且a、b、d满足

a+1

+|b-3|+（2-d）²=0，DE⊥x轴且∠BED=∠ABO，直线AE交x轴于点C．
（1）求A、B、D三点的坐标；
（2）求直线AE的解析式；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，d的值，确定出A，B，D的坐标即可；
（2）由已知角相等，加上一对直角相等，且根据A，B与D的坐标确定出OA=BD，利用AAS得到三角形AOB与三角形BED全等，利用全等三角形的对应边相等得到OB=ED，进而确定出E坐标，设直线AE解析式为y=mx+n，将A与E坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线AE解析式；
（3）由直线AE解析式，求出C坐标，求出BC的长，确定出三角形ABC面积即可．

解答：解：（1）∵

a+1

+|b-3|+（2-d）²=0，
∴a+1=0，b-3=0，2-d=0，
解得：a=-1，b=3，d=2，
∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）；
（2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3），
∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3，
∴OA=BD=3，
在△ABO和△BED中，

∠AOB=∠BDE=90° ∠ABO=∠BEO OA=BD

，
∴△ABO≌△BED（AAS），
∴ED=OB=1，
∴E（2，1），
设直线AE解析式为y=mx+n，
将A（0，3）与E（2，1）代入得：

n=3 2m+n=1

，
解得：

m=-1 n=3

．
则直线AE解析式为y=-x+3；
（3）对于直线AE解析式y=-x+3，
令y=0，得到x=3，即C（3，0），OC=3，
∴BC=OB+OC=1+3=4，
则S_△ABC=

1

2

BC•OA=6．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．