Question

12．如图，△A₁OB₁是边长为1的等边三角形，将其以原点O为中心在原点两侧进行位似变换，得△A₂OB₂，二者的位似比为1：2，将△A₂OB₂以x轴为对称轴进行轴对称变换，得△A₃OB₂再原点O为中心在原点两侧进行位似变换，得△A₄OB₃，二者的位似比为1：2，按此规律．则点A₂₀₁₆的坐标为（$\frac{1}{2}$×4⁵⁰⁴，$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4⁵⁰⁴）．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质求出点A₁的坐标，根据位似变换和轴对称变换的性质总结规律，求出点A₂₀₁₆的坐标．

解答 解：∵△A₁OB₁是边长为1的等边三角形，
∴点A₁的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∵位似比为1：2，
∴点A₂的坐标为（-2，-2$\sqrt{3}$），
∵将△A₂OB₂以x轴为对称轴进行轴对称变换，得△A₃OB₂，
∴点A₃的坐标为（-2，2$\sqrt{3}$），
∴点A₄的坐标为（4，-4$\sqrt{3}$），
∴点A₅的坐标为（4，4$\sqrt{3}$），
可以发现，经过4次变换横、纵坐标扩大4倍，
2016÷4=504，
则点A₂₀₁₆的坐标为（$\frac{1}{2}$×4⁵⁰⁴，$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4⁵⁰⁴），
故答案为：（$\frac{1}{2}$×4⁵⁰⁴，$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4⁵⁰⁴）．

点评 本题考查的是位似变换和轴对称变换的性质、等边三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．