Question

9．已知正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3$\sqrt{2}$，点E是弧AD上的一点，连接BE，CE，CE交AD于H点，作OG垂直BE于G点，且OG=$\sqrt{2}$，则EH：CH=（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}-1}{9}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{7}$

Answer 1

分析 连接AC、BD、DE，根据垂径定理和三角形中位线定理得到DE=2OG=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理求出BE，利用△CDH∽△BED和△ACH∽△EDH得到成比例线段，计算即可．

解答 解：连接AC、BD、DE，
∵OG⊥BE，
∴BG=GE，又BO=OD，
∴OG=$\frac{1}{2}$DE，
则DE=2OG=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=8，
∵∠EBD=∠ECD，∠BED=∠CDH=90°，
∴△CDH∽△BED，
∴$\frac{CD}{BE}$=$\frac{DH}{ED}$，
∴DH=$\frac{CD•ED}{BE}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AH=6-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{12-3\sqrt{2}}{2}$，
CH=$\sqrt{C{D}^{2}+D{H}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵∠CAD=∠DEC，∠ACE=∠ADE，
∴△ACH∽△EDH，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{CH}{DH}$，
则EH=$\frac{AH•DH}{CH}$=$\frac{4-\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{EH}{CH}$=$\frac{2\sqrt{2}-1}{9}$，
故选：B．

点评 本题考查的是圆周角定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．