Question

4．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，S_△PBD=2，OA=OC．求：
（1）点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）令一次函数解析式中x=0，求出y值，即可得出点D的坐标；
（2）由PA⊥x轴于点A可得出△COD∽△CAP，根据相似三角形的性质结合S_△PBD=2，OA=OC，可得出线段BP的长度，由此得出点P的坐标，结合反比例系数k的几何意义即可得出m的值，再由待定系数法即可求出k值．

解答 解：（1）令一次函数y=kx+2中x=0，则y=2，
∴点D的坐标为（0，2）．
（2）∵PA⊥x轴于点A，
∴PA∥y轴，
∴△COD∽△CAP，
∴$\frac{CO}{CA}=\frac{OD}{AP}$，
又∵OA=OC，
∴AP=2OD，
∴BD=OD=2．
∵S_△PBD=$\frac{1}{2}$BD•BP=2，
∴BP=2，即点P的坐标为（2，4）．
∵点P在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=2×4=8．
∵点P在一次函数y=kx+2的图象上，
∴4=2k+2，解得：k=1．
∴一次函数的解析式为y=x+2，反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积公式、相似三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）令x=0，求出y值；（2）求出点P的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形的面积公式以及相似三角形的性质得出点的坐标是关键．