Question

18．如图，在直角坐标系中，直线y=-x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．
（1）△ODE的面积为8；
（2）若∠FOG=45°，求矩形OACB的面积8．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数解析式求得OD=OE=4，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ODE=∠OED=45°，推出∠DOF=∠OGE，证得△DOF∽△EGO，根据相似三角形的性质得到DF•EG=OE•OD=16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．根据勾股定理得到DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a，于是得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，
∴D（4，0），E（0，4），
∴OD=OE=4，
∴△ODE的面积=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
故答案为：8；

（2）∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED=45°；
∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，
∵∠EOF=45°，
∴∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG，
∴∠DOF=∠OGE，
∴△DOF∽△EGO，
∴$\frac{DF}{OE}$=$\frac{OD}{EG}$，
∴DF•EG=OE•OD=16，
过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．
∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，
∵NG=AC=a，FM=BC=b，
∴DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a，
∴DF•GE=2ab，
∴2ab=16，
∴ab=8，
∴矩形OACB的面积=ab=8．
故答案为8．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质找出辅助线构建等腰直角三角形，求得DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a是解题的关键．