Question

15．己知实数m，n满足m-n=$\sqrt{10}$，m²-3n²为素数，若m²-3n²的最大值为a，最小值为b，则a-b的值为11．

Answer 1

分析 根据题意设m²-3n²=q，进而利用已知得出关于n的方程，再利用根的判别式得出q的取值范围，进而得出答案．

解答 解：设m²-3n²=q
∵m-n=$\sqrt{10}$，
∴m=$\sqrt{10}$+n
∴（$\sqrt{10}$+n）²-3n²=q
∴10+2$\sqrt{10}$n+n²-3n²=q
∴2n²-2$\sqrt{10}$n-10+q=0
∵n为实数
∴（-2$\sqrt{10}$）²-4×2（q-10）≥0
解得：q≤15
∴q=2；3；5；7；11；13
∵m²-3n²的最大值为a，最小值为b，
∴a=13，b=2，
∴a-b=13-2=11．
故答案为：11．

点评 此题主要考查了质数的定义以及根的判别式，正确得出q的取值范围是解题关键．