Question

15．如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC．
（2）如果⊙O的半径为5，AB=12，求cos∠E．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由CA=CB，OB=OD，易证得OD∥AC，又由DF是⊙O的切线，即可证得结论；
（2）首先连接BG，CD，可求得CD的长，然后由AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，求得BG的长，易证得BG∥EF，即可得cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$．

解答 （1）证明：连接OD，
∵CA=CB，OB=OD，
∴∠A=∠ABC，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC．

（2）解：连接BG，CD．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵CA=CB=10，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{48}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{24}{25}$．

点评 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．