Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为（-6，0），点C在y轴的正半轴上，其坐标为（0，8），分别过点A、C作y轴的平行线，两平行线相交于点D
（1）点B坐标为（-6，8）；
（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B-A-O匀速移动，设点P移动的时间为t秒，用含t的式子表示P点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC、CP，求t为何值时，△ACP的面积与长方形OABC的面积比为1：4，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质求出点B坐标；
（2）分点P在AB上和点P在AO上两种情况，根据题意计算；
（3）分点P在AB上和点P在AO上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-6，0），点C的坐标为（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴点B坐标为（-6，8）
故答案为：（-6，8）；
（2）当点P在AB上时，BP=2t，
则AP=8-2t，
∴P点坐标为（-6，8-2t），
当点P在AO上时，BA+AP=2t，
则PO=14-2t，
∴P点坐标为（-14+2t，0）；
（3）长方形OABC的面积为6×8=48，
∵△ACP的面积与长方形OABC的面积比为1：4，
∴△ACP的面积为12，
当点P在AB上时，$\frac{1}{2}$×（8-2t）×6=12，
解得，t=2，
此时点P的坐标为（-6，4），
当点P在AO上时，$\frac{1}{2}$×（2t-8）×8=12，
解得，t=5.5，
此时点P的坐标为（-3，0），
则t为2或5.5时，△ACP的面积与长方形OABC的面积比为1：4．

点评 本题考查的是矩形的性质、三角形的面积公式，掌握矩形的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．