小明遇到这样一个问题:如图1.在等腰直角△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.点D在BC边上.点E在CA的延长线上.且BD=AE.连接DE交边AB于点F.过D作DG⊥AB于点G.探究线段FG与AB之间的数量关系.并证明．小明通过探究发现.过点D作DH⊥BC.交直线AB于点H.就能得到DH=AE.从而使问题得到解决．(1)求证:DH=AE,(2)请直接写出线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．小明遇到这样一个问题：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BC边上，点E在CA的延长线上，且BD=AE，连接DE交边AB于点F，过D作DG⊥AB于点G，探究线段FG与AB之间的数量关系，并证明．小明通过探究发现，过点D作DH⊥BC，交直线AB于点H，就能得到DH=AE，从而使问题得到解决．

（1）求证：DH=AE；
（2）请直接写出线段FG与AB之间的数量关系FG=$\frac{1}{2}$AB；
（3）如图3，在等腰△ABC中，AC=BC，∠B=α，点D在BC上，点E在CA的延长线上，且BD=kAE，连接DE交边AB于点F，过D作DG⊥AB于点G．探究线段FG，AE，AF之间的数量关系，并证明（用含k，a的式子表示）．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，推出△BDH是等腰直角三角形，得到DH=BD，等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到BG=HG，根据平行线的性质得到∠E=∠HDF，根据全等三角形的性质得到AF=HF，于是得到结论；
（3）过D作DH∥AC交AB于H，根据平行线的性质得到∠DHB=∠CAB，根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠B，等量代换得到∠DHB=∠B，求得DH=BD，等量代换得到DH=kAE，根据相似三角形的性质得到FH=kAF，于是得到结论．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BD，
∵BD=AE，
∴DH=AE；

（2）FG=$\frac{1}{2}$AB，
∵△BDH是等腰直角三角形，DG⊥BH，
∴BG=HG，
∵DH⊥BC，
∴DH∥CE，
∴∠E=∠HDF，
在△AEF与△HDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠HDH}\\{∠AFE=∠HFD}\\{AE=DH}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DHF，
∴AF=HF，
∴AF+BG=FH+HG=FG，
∴FG=$\frac{1}{2}$AB；
故答案为：FG=$\frac{1}{2}$AB；

（3）如图3，过D作DH∥AC交AB于H，
∴∠DHB=∠CAB，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∴∠DHB=∠B，
∴DH=BD，
∵DG⊥BH，
∴BG=HG，
∵BD=kAE，
∴DH=kAE，
∵DH∥AC，
∴△AEF∽△HDF，
∴$\frac{AF}{FH}=\frac{AE}{DH}$=$\frac{1}{k}$，
∴FH=kAF，
∵∠B=α，
∴HG=BG=BD•cosα=kAE•cosα，
∴FG=FH+HG=kAF+kAE•cosα．