Question

14．已知二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）．
（1）当k=$\frac{1}{2}$时，求这个二次函数的顶点坐标．
（2）求证：二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）当x₁=a，x₂=b，c₃=c时，二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）对应的函数值分别为y₁，y₂，y₃，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y₁＜y₂＜y₃，则实数k的取值范围是0＜k＜2．

Answer 1

分析 （1）利用配方法或顶点坐标公式即可解决问题．
（2）欲证明二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，只要证明△＞0即可．
（3）由题意正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，推出a的最小值为2，所以对称轴x=-$\frac{-（2k+1）}{2}$＜$\frac{5}{2}$时，当a＜b＜c时，都有y₁＜y₂＜y₃，解不等式即可解决问题．

解答 （1）解：当k=$\frac{1}{2}$时，这个二次函数的解析式为y=x²-2x+$\frac{3}{4}$，
∵y=x²-2x+$\frac{3}{4}$=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，
∴这个二次函数的顶点坐标为（1，-$\frac{1}{4}$）；

（2）证明：对于二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0），
∵△=[-（2k+1）]²-4k²-4k=1＞0，
∴二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）的图象与x轴有两个不同的交点．

（3）∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，
∴a的最小值为2，
∴对称轴x=-$\frac{-（2k+1）}{2}$＜$\frac{5}{2}$时，当a＜b＜c时，都有y₁＜y₂＜y₃，
∴k＜2，∵k＞0，
∴0＜k＜2时，满足条件．
故答案为0＜k＜2．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．