Question

1．如图，在△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，BC边上的高AD=$\sqrt{3}$．
（1）求BC的长；
（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC、BC上，求这个正方形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可求出BD与CD的长度，然后即可求出BC的长度．
（2）由（1）可知△ABC是直角三角形，其中∠BAC=90°，由题意可画出正方形EFGA，求出边长的值即可求出答案．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，
由勾股定理可求得：BD=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，
由勾股定理可求得：CD=1，
（2）由（1）可知：∠B=∠DAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∵一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC、BC上，
∴四边形AEFG是正方形，如图所示，
设AE=EF=x，
∴BE=2$\sqrt{3}$-x，
∵∠B=30°，
∴tan30°=$\frac{EF}{BE}$
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$-x）
解得：x=3-$\sqrt{3}$，
∴正方形的面积为：（3-$\sqrt{3}$）²=12-6$\sqrt{3}$

点评 本题考查正方形的性质，解题的关键是求出△BAC是直角三角形，本题属于中等题型．