Question

18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连按BF和EG，试判断四边形BFEG的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 根据垂直平分线的性质求出OB=OE，BF=EF，根据矩形性质和平行线性质求出∠FEO=∠GBO，证△FOE≌△GOB，推出OF=OG，即可得出答案；

解答 解：四边形BFEG的形状是菱形，
理由是：∵BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，
∴OB=OE，BF=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FEO=∠GBO，
在△FOE和△GOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEO=∠GBO}&{\;}\\{OE=OB}&{\;}\\{∠FOE=∠GOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△GOB，
∴OF=OG，
∵OB=OE，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∵BF=EF，
∴四边形BFEG是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质，垂直平分线性质，平行四边形的判定，勾股定理，菱形的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．