Question

13．如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB=AC=10，BC=12，且PD：PE：PF=1：3：3，则AP的长为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{20}{3}$
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可．

解答 解：连接AP，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，PE=PF，
∴点P在∠A的平分线上，
∵AB=AC，PD⊥BC，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=8，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
则$\frac{1}{2}$×12×8=$\frac{1}{2}$×10×3x×2+$\frac{1}{2}$×12×x，
解得，x=$\frac{4}{3}$，即PD=$\frac{4}{3}$，
∴AP=8-$\frac{4}{3}$=$\frac{20}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．