Question

10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值．
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，求m的值；
②在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先由点D的坐标确定出AD，从而求出点A坐标，最后求出k，
（2）①由平移的性质确定出B'的纵坐标，根据解析式求出点B'的横坐标，即可；
②由平移的性质求出点D落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点的m的取值范围．

解答 解：（1）过点D做x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴菱形ABCD
∴AD=5
∴A（4，8），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=xy=4×8=32，
（2）①将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
则平移后B'（m，5），
∵菱形的顶点B落在反比例函数y=$\frac{32}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{32}{5}$，
②如图，

将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数y=$\frac{32}{x}$（x＞0）的图象D'处，
过点D'做x轴的垂线，垂足为F'，
∵DF=3，
∴DF'=3，
∴点D'的纵坐标为3，
∵D'落在函数y=$\frac{32}{x}$（x＞0）的图象上，
∴3=$\frac{32}{x}$，
∴x=$\frac{32}{3}$，
∴OF'=$\frac{32}{3}$，
∴FF'=$\frac{32}{3}$-4=$\frac{20}{3}$
∴0≤m≤$\frac{20}{3}$．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，勾股定理，解本题的关键是求出反比例函数解析式，难点出是判断菱形ABCD的边AD始终和双曲线有交点的分界点．