Question

19．【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；
（3）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．

解答 解：（1）BD=CE．
理由是：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE．
∵AE=AB=7，
∴BE=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$，∠ABE=∠AEB=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{107}$，
∴BD=CE=$\sqrt{107}$．
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠E=∠ABC=45°，
∴AE=AB=7，BE=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$，
又∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠BAE=∠DAC=90°，
∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE，
∵BC=3，
∴BD=CE=（7$\sqrt{2}$-3）cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键．