题目内容
17．
如图，在等边△ABC中，点D是边AC所在直线上一个动点（不与点A，C重合），点E在BC的延长线上，CD=CE．（1）当点D在AC边上时，求∠E的度数，并直接写出当点D运动到什么位置时，△DBE是等腰三角形；
（2）当点D在CA的延长线上时，请直接写出∠E的度数，此时△DBE能否是等腰三角形？若不能，直接写“不能”；若能，写出是等腰三角形时底角的度数；
（3）当点D在AC的延长线上时，（2）中问题的答案是什么？
分析 （1）如图1中，根据等边三角形，以及等腰三角形的性质即可解决问题．
（2）如图2中，∠E的度数不变，△DBE能成为等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求出底角度数．
（3）如图3中，根据等边三角形的判定即可求出∠E的度数，△DBE能成为等腰三角形，此时△DBE是等边三角形．
解答 解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
点D运动到AC中点时，∵BA=BC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∴∠DBE=∠E=30°
∴△DBE是等腰三角形，
∴点D运动到AC中点时，△DBE是等腰三角形．
（2）如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
△DBE能是等腰三角形，理由：当EB=ED时，△EDB是等腰三角形，此时∠EBD=∠EDB=75°，
（3）如图3中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ECD=∠ACB=60°
∵CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠E=60°，
当∠DBE=60°时，△DBE是等边三角形，此时∠DBE=∠E=∠BDE=60°．
点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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