Question

12．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°．
（1）如图1，点D是边AC上的中点，点E是边BC上的动点，连接DE，以DE为边构造如图△DEF，DE=DF，∠EDF=90°，连接CF，求证：CF⊥CB．
（2）如图2，点D、点E分别是边AC上、边BC上的动点，连接DE，以DE为边构造如图△DEF，DE=DF，∠EDF=90°，连接CF，求证：CF⊥CB．
（3）在（2）的条件下，连接AF，如果AB=2，请问在D，E的运动过程中，AF是否存在最大值和最小值？若有请求出；若无请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BD，只要证明△DBE≌△DCF，推出∠DCF=∠DBE=45°，由∠ACB=∠A=45°，推出∠BCF=90°即可解决问题．
（2）如图2中，作PD⊥AC交BC于P，DF与BC交于点K，则△PDC是等腰直角三角形．只要证明△EDP≌△FDC，推出∠DEP=∠DFC，由∠DKE=∠FKC，推出∠FCK=∠EDK=90°，即可证明．
（3）如图3中，AF垂直最大值和最小值．当点E与B重合，点D与点C重合时，AF的值最大，作AF′⊥CF于F′，根据垂线段最短，可知AF的最小值=AF′=2，AF的最大值=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

解答 （1）证明：如图1中，连接BD．

∵BA=BC，∠ABC=90°，AD=DC，
∴BD⊥AC，BD=AD=DC，
∴∠BDC=∠EDF=90°，∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠BDE=∠CDF，
在△DBE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCF，
∴∠DCF=∠DBE=45°，
∵∠ACB=∠A=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BC．

（2）证明：如图2中，作PD⊥AC交BC于P，DF与BC交于点K，则△PDC是等腰直角三角形．

∵∠EDF=∠PDC=90°，
∴∠EDP=∠FDC，
在△EDP和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDP=∠FDC}\\{DP=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDP≌△FDC，
∴∠DEP=∠DFC，
∵∠DKE=∠FKC，
∴∠FCK=∠EDK=90°，
∴CF⊥BC．

（3）解：如图3中，AF垂直最大值和最小值．

∵点F在过点C垂直BC的直线上，
∴当点E与B重合，点D与点C重合时，AF的值最大，作AF′⊥CF于F′，
根据垂线段最短，可知AF的最小值=AF′=2，AF的最大值=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．