Question

16．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出直线BC和抛物线解析式；
（2）先判断出点Q的位置，即可得出坐标；
（3）利用平行于y轴的直线上的两点之间的距离确定出函数函数关系式即可确定出最大值．

解答 解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（5，0），C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+5；
∵抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴交于点C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{25+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-6x+5；
（2）如图1，

∵点A，B是抛物线y=x²-6x+5与x轴的交点，
∴点A，B关于抛物线y=x²-6x+5的对称轴x=3对称，
∵抛物线的对称轴上的点Q，使得△QAC的周长最小，
∴点Q就是抛物线的对称轴与直线BC的交点，
∴Q（3，2）；
（3）如图2，

∵抛物线的解析式为y=x²-6x+5；
∴A（1，0），B（5，0），
设点M（m，m²-6m+5）（1＜m＜5），
∴N（m，-m+5），
∴MN=-m+5-（m²-6m+5）
=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，MN最大是$\frac{25}{4}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，解（2）的关键是利用对称点确定三角形周长最小时的点Q的位置，解（3）的关键是确定出MN的函数关系式．