Question

7．斐波那契（约1170-1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a_n可表示为$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]．
（1）计算第一个数a₁；
（2）计算第二个数a₂；
（3）证明连续三个数之间a_n-1，a_n，a_n+1存在以下关系：a_n+1-a_n=a_n-1（n≥2）；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．

Answer 1

分析 （1）（2）代入计算即可求解；
（3）根据乘法分配律即可证明：a_n+1-a_n=a_n-1（n≥2）；
（4）根据（3）的关系可求斐波那契数列中的前8个数．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（2）a₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（3）证明：a_n+1-a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-1）]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$-1）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）^n-1-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）^n-1]；

（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．

点评 此题考查了二次根式的应用，关键是熟悉斐波那契数列的规律．