Question

我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠BAC=70°，∠BIC的度数为

 

．
（2）根据（1）的解题经验你发现了∠BIC与哪些角相等，请写出来，并说明其中的道理．
（3）图中与∠EIC相等的角有

 

．

Answer 1

考点：三角形内角和定理

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠IBC+∠ICB，然后在△BCI中利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）用∠A表示出∠BIC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BDI和∠CEI即可判断；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BIC+∠EIC=∠BDI+∠DBI，即可得到∠EIC=∠DBI，再根据角平分线的定义可得∠DBI=∠IBC．

解答：解：（1）由三角形的内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A），
在△BCI中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
∵∠BAC=70°，
∴∠BIC=90°+

1

2

×70°=125°；

（2）∵DE⊥AI，
∴∠AID=∠AIE=90°，
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=∠EAI=

1

2

∠A，
∴∠BDI=90°+

1

2

∠A，∠CEI=90°+

1

2

∠A，
∴与∠BIC相等的角有∠BDI、∠CEI；

（3）由三角形的外角性质得，∠BIC+∠EIC=∠BDI+∠DBI，
∵∠BIC=∠BDI，
∴∠EIC=∠DBI，
∵BI平分∠ABC，
∴∠DBI=∠IBC，
∴与∠EIC相等的角有∠DBI、∠IBC．
故答案为：（1）125°；（3）∠DBI、∠IBC．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并综合运用，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．