Question

如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=

5

，∠MAN=135°，
（1）求证：△ADN∽△MBA；
（2）求四边形AMCN的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）运用正方形对解线及三角形外角性质得出对应角相等，得出△ADN∽△MBA；
（2）连AO，可得出OA，OB及MB的长，再运用△ADN∽△MBA得出DN的长，利用三角形面积公式求出四边形AMCN的面积．

解答：（1）证明：∵∠ABM=∠NDA=135°，
∴∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB，
∵∠AMB=45°-∠MAB，
∴∠NAD=∠AMB
∵∠ADN=∠ABM=135°，
∴△ADN∽△MBA
（2）解：设正方形ABCD的中心为O，连AO，则
AO⊥BD，AO=OB=

2

2

，MO=

AM2-AO2

=

( 5 )2-( 2 2 )2

=

3 2

2

，
∴MB=MO-OB=

2

．
∵△ADN∽△MBA
∴

AD

MB

=

DN

BA

，
∴DN=

AD

MB

•BA=

1

2

×1=

2

2

．
根据对称性可知，四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2×

1

2

×MN×AO=2×

1

2

×(

2

2

+

2

+

2

)×

2

2

=

5

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是运用三角形相似求出DN的长度．